El cálculo del volumen de la esfera fue uno de los descubrimientos que Arquímedes más estimaba de todos los que hizo en su vida. Llegó a demostrar de un modo muy original que el volumen de la esfera es igual a dos tercios del volumen del cilindro circular circunscrito a ella. Tanto le impresionó esto a él mismo (tal vez porque en ese entonces se hablaba de los cuerpos perfectos) que mandó que en su tumba se grabase esta figura en recuerdo de la mejor de sus ideas.
Arquímedes cortó las tres figuras por un plano paralelo a la base del cilindro y el cono y se preguntó cómo serían las secciones determinadas por este plano en cilindro, semiesfera y cono.
En el cilindro se obtiene un círculo de radio R (no olvides que el radio es la mitad del diámetro d). En la esfera también será un círculo, pero su radio dependerá de la distancia d. Mirando la figura siguiente y acordándote del teorema de Pitágoras, fácilmente puedes escribir que si el radio de la sección es r, entonces r2 + d2=R2
En el cono la sección también será un círculo y ahora el radio es aún más fácil de determinar mirando a la figura siguiente
Como el radio de apertura del cono es de 45º, resulta que el radio es d. Así
Sección cilindro = PR2 = P(r2 + d2) = Pr2 + Pd2 =Sección semiesfera + Sección cono
Las secciones son como rebanadas de las tres figuras obtenidas cortando paralelamente a la base del cilindro. Resulta que, colocando las tres figuras como las hemos puesto y cortándolas en rebanadas finas tendremos
En fin, complejo ¿verdad?
Arquímedes siguió calculando las rebanadas de hasta que consiguió demostrar la fórmula que todavía hoy utilizamos para calcular el volumen de una esfera:
